Kvadratna funkcija ili polinom drugog stupnja je funkcija f: R>R oblika f(x)=ax2+bx+c , a ≠ 0. Graf kvadratne funkcije je parabola jednadžbe y=ax2+bx+c , a ≠ 0 .
Broj a nazivamo vodeći koeficijent, b linearni a c slobodni koeficijent.
U priloženom apletu imamo grafički prikaz kvadratne funkcije kojoj su a=1, b=0 i c=0, pa imamo najjednostavniju kvadratnu funkciju f(x) = x2 . Pogledajmo oblik te funkcije : simetrična je s obzirom na os y i s otvorom prema gore.
(Dvostrukim klikom miša na aplet otvara se datoteka koju možemo spremiti na kompjuter).
Za početak mjenjajmo koeficijent a pomicanjem zadanog klizača a. Što se dešava sa oblikom parabole?
Za funkcija je otvorena prema gore .
Za funkcija je otvorena prema dolje .
(Reset postavki i vraćanje grafa na prvobitnu vrijednost vrši se ovalnim znakom u gornjem desnom uglu.)
Sad mjenjajmo koeficijent b pomicanjem klizača b. Što se dešava sa parabolom? A što kad pomičemo klizač c (mijenjamo koeficijent c)?
Nultočke kvadratne funkcije su sjecišta funkcije sa
osi apscisa, gdje je y=0, pa ih izračunamo iz kvadratne jednadžbe
ax2+bx+c=0.
Opće rješenje ove kvadratne jednadžbe glasi:
Izraz pod korijenom 
nazivamo
diskriminanta i označavamo sa D, pa imamo D =
.
Proučimo u gornjem apletu kako o diskriminanti ovisi karakter i osobine nultočki kvadratne funkcije (rješenja kvadratne jednadžbe).
Koliko relnih nultočaka imamo ako je diskriminanta pozitivna?
Koliko relnih nultočaka imamo ako je diskriminanta negativna?
A koliko realnih nultočaka imamo ako je diskriminanta jednaka 0?
Zaključak:
Iz svega slijedi da graf kvadratne funkcije određuju parametar a i diskriminanta D.
1) Ako je D>0 tada su rješenja x1 i x2 kvadratne jednadžbe realni brojevi i različiti su. Kvadratni korijen iz pozitivnog broja je realan broj, a pošto su svi ostali brojevi realni tada su x1 i x2 realni brojevi. U ovom slučaju kvadratna funkcija ima dvije nultočke i siječe os apscise u dvije točke x1 i x2.
2) Ako je D=0 tada su x1 i x2 realni i jednaki brojevi, tj. x1=x2 . U ovom slučaju kvadratna funkcija ima samo jednu nultočku i sa osi apscisa ima jednu točku zajedničku.
3) Ako je D<0 tada su x1 i x2 konjugirano kompleksni brojevi, pa kvadratna funkcija nema zajedničkih točaka sa osi apscisa (nema realnih nultočaka).
. Klizač će se automatski imenovati sa
a, pa desnim klikom miša na klizač u padajućem izborniku koji dobijemo označimo
preimenuj i imenujemo sa m. Zatim upisujemo funkciju sa f(x)=... ...i
dalje kako je zadano, s tim da operator množenja upisujemo s * ili razmaknicom , pa
je npr mx=m x ili m*x , a potenciju s ^ (Ctrl-Alt-3) pa je x²=x^2.
Naredbom sjecište
, nađemo sjecište funkcije i
xOs (osi x) -tj. nultočke funkcije. Nultočke možemo dobiti i naredbom
nultočka[f] u polju za
unos. (Pomičemo klizač m i promatramo kad se
nultočka (jedna) funkcije f(x) nalazi u segmentu
[0,3].
Ako vam nije uspjelo, pritisnite tipku pokreni da vidite kako je jednostavno. Desnim klikom miša na graf funkcije otvara nam se prozor u kojem očitavamo vrijednost i ime funkcije, te ostala svojstva. Označavanjem određenog polja možemo mjenjati svojstva grafa, ili ga preimenovati, redefinirati, učiniti nevidljivim (pokaži objekt), skinuti oznaku...Pomicanjem klizača m utvrdimo rješenje.
2.Odrediti parametar m tako da funkcija g(x)=(m-2)x²-mx+2 ima jednake realne nultočke (jednu nultočku). Zadatak riješiti računski pa provjeriti uz pomoć geogebre, na isti način kao u zadatku 1. Pomicanjem klizača m utvrdimo rješenje.
Proučimo malo bolje neke vidove kvadratne funkcije: